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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez par .
Étape 3.2
Remplacez par .
Étape 4
Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Multipliez .
Étape 4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Multipliez .
Étape 4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4
Multipliez .
Étape 4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5
Multipliez .
Étape 4.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.5.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7
Multipliez .
Étape 4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8
Multipliez .
Étape 4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9
Multipliez .
Étape 4.1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.9.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10
Multipliez .
Étape 4.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.10.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.11
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12
Multipliez .
Étape 4.1.2.12.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.12.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13
Multipliez .
Étape 4.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.13.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14
Multipliez .
Étape 4.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15
Multipliez .
Étape 4.1.2.15.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.15.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.16
Multipliez par .
Étape 4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.3
Simplify each element.
Étape 4.3.1
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Additionnez et .
Étape 4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.3.5
Additionnez et .
Étape 4.3.6
Additionnez et .
Étape 4.3.7
Additionnez et .
Étape 4.3.8
Additionnez et .
Étape 4.3.9
Additionnez et .
Étape 4.3.10
Additionnez et .
Étape 4.3.11
Additionnez et .
Étape 4.3.12
Additionnez et .
Étape 5
Étape 5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.1.11
Add the terms together.
Étape 5.2
Multipliez par .
Étape 5.3
Évaluez .
Étape 5.3.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.3.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.3.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.3.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.3.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.3.1.9
Add the terms together.
Étape 5.3.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3
Évaluez .
Étape 5.3.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.3.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.2.2
Additionnez et .
Étape 5.3.3.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.4
Évaluez .
Étape 5.3.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.3.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.3.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.3.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.3.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.3.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.3.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.3.4.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.3.4.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.3.4.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.3.4.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.3.5.1
Additionnez et .
Étape 5.3.5.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5.2.2
Multipliez .
Étape 5.3.5.2.2.1
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.2.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.3
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.4
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.3.5.2.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5.2.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5.2.4.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5.2.5
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.3.5.2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.3.5.2.5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.5.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.3.5.2.5.1.3.1
Déplacez .
Étape 5.3.5.2.5.1.3.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.5.1.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.5.2.5.1.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.5.2.5.1.3.3
Additionnez et .
Étape 5.3.5.2.5.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.3.5.2.5.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.3.5.2.5.1.5.1
Déplacez .
Étape 5.3.5.2.5.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.5.1.6
Multipliez par .
Étape 5.3.5.2.5.2
Additionnez et .
Étape 5.3.5.3
Soustrayez de .
Étape 5.3.5.4
Déplacez .
Étape 5.3.5.5
Déplacez .
Étape 5.3.5.6
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.4
Évaluez .
Étape 5.4.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.4.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.4.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.4.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.4.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.4.1.9
Add the terms together.
Étape 5.4.2
Multipliez par .
Étape 5.4.3
Évaluez .
Étape 5.4.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.4.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.3.2.1
Multipliez par .
Étape 5.4.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.4.3.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.4.4
Évaluez .
Étape 5.4.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.4.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.4.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.4.5.1
Soustrayez de .
Étape 5.4.5.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.2.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.3
Multipliez .
Étape 5.4.5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.3.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.4
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.4.5.2.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.2.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.2.4.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.2.5
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.4.5.2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.5.2.5.1.1
Multipliez .
Étape 5.4.5.2.5.1.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.5.1.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.5.1.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.5.2.5.1.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.5.2.5.1.4.1
Déplacez .
Étape 5.4.5.2.5.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.5.1.5
Multipliez par .
Étape 5.4.5.2.5.2
Additionnez et .
Étape 5.4.5.2.6
Multipliez par .
Étape 5.4.5.3
Additionnez et .
Étape 5.4.5.4
Déplacez .
Étape 5.4.5.5
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.5
Évaluez .
Étape 5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 5.5.1.9
Add the terms together.
Étape 5.5.2
Multipliez par .
Étape 5.5.3
Évaluez .
Étape 5.5.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.1.4
Multipliez .
Étape 5.5.3.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.5.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.3.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.5.4
Évaluez .
Étape 5.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.5.5.1
Soustrayez de .
Étape 5.5.5.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.2.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2.3
Multipliez .
Étape 5.5.5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2.3.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2.4
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.5.5.2.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.2.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.2.4.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.5.5.2.5
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.5.5.2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.5.5.2.5.1.1
Réécrivez comme .
Étape 5.5.5.2.5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2.5.1.3
Multipliez par .
Étape 5.5.5.2.5.1.4
Déplacez à gauche de .
Étape 5.5.5.2.5.1.5
Réécrivez comme .
Étape 5.5.5.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 5.5.5.2.6
Multipliez par .
Étape 5.5.5.3
Additionnez et .
Étape 5.5.5.4
Déplacez .
Étape 5.5.5.5
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.6
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.6.1
Additionnez et .
Étape 5.6.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.6.2.1
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 5.6.2.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.6.2.2.1
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.3
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.4
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.2.2.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.6.2.2.6.1
Déplacez .
Étape 5.6.2.2.6.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.2.2.6.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.2.2.6.3
Additionnez et .
Étape 5.6.2.2.7
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.8
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.2.2.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.6.2.2.10.1
Déplacez .
Étape 5.6.2.2.10.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.10.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.2.2.10.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.6.2.2.10.3
Additionnez et .
Étape 5.6.2.2.11
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.12
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.6.2.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.6.2.2.13.1
Déplacez .
Étape 5.6.2.2.13.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.14
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.15
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.16
Multipliez .
Étape 5.6.2.2.16.1
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.16.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.3
Associez les termes opposés dans .
Étape 5.6.2.3.1
Additionnez et .
Étape 5.6.2.3.2
Additionnez et .
Étape 5.6.2.4
Soustrayez de .
Étape 5.6.2.5
Additionnez et .
Étape 5.6.2.6
Multipliez par .
Étape 5.6.2.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.6.2.8
Simplifiez
Étape 5.6.2.8.1
Réécrivez comme .
Étape 5.6.2.8.2
Multipliez par .
Étape 5.6.2.8.3
Multipliez par .
Étape 5.6.3
Soustrayez de .
Étape 5.6.4
Soustrayez de .
Étape 5.6.5
Soustrayez de .
Étape 5.6.6
Additionnez et .
Étape 5.6.7
Soustrayez de .
Étape 5.6.8
Déplacez .
Étape 5.6.9
Remettez dans l’ordre et .
Étape 6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 7
Étape 7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 7.1.1
Regroupez les termes.
Étape 7.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.3
Réécrivez comme .
Étape 7.1.4
Factorisez.
Étape 7.1.4.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 7.1.4.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 7.1.5
Réécrivez comme .
Étape 7.1.6
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 7.1.7
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 7.1.7.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 7.1.7.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 7.1.8
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 7.1.9
Réécrivez comme .
Étape 7.1.10
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 7.1.11
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.11.2
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.12
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 7.1.13
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 7.1.13.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 7.1.13.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 7.1.14
Factorisez.
Étape 7.1.14.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 7.1.14.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 7.1.15
Associez les exposants.
Étape 7.1.15.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.1.15.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.1.15.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 7.1.15.4
Additionnez et .
Étape 7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 7.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 7.3.1
Définissez égal à .
Étape 7.3.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 7.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 7.4.1
Définissez égal à .
Étape 7.4.2
Résolvez pour .
Étape 7.4.2.1
Définissez le égal à .
Étape 7.4.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 7.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 7.5.1
Définissez égal à .
Étape 7.5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.